Algebraische Kategorien by Bodo Pareigis

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Die obige Konstruktion hat aber noch eine universelle Eigenschaft. Satz 13: Sei $ d linksadjungiert zu © : X) ^ d . Sei ( § , μ, e) die durch 3f u n d © definierte Monade. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Funktor £ :D d^\ so d a ß dze Diagramme : und kommutativ sind. B. bei Limites, ist diese universelle Lösung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Daher ist es sinnvoll, das Vorliegen einer solchen universellen Lö­ sung mit einem besonderen Namen zu versehen. Definition: Ein Funktor © : X) -*(E heißt monadisch, wenn © einen linksadjungierten Funktor g : (E ->X) besitzt, so daß der durch die Monade (©$ = ξ), μ, e) definierte Funktor £ : X) -» & ein Isomorphismus ist.

1] Functorial semantics of algebraic theories. Thesis, Columbia University, 1963. - [2] Functorial semantics of algebraic theories. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 50, 869 - 872, 1963. - [3] An elementary theory of the category of sets. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 52, 1506 -1511, 1964. : Triples versus theories. Notices Am. Math. Soc. 13, 227, 1966. : A triple miscellany. Dissertation. Wesleyan University. , 1967. : On fundamental constructions and adjoint functors. Canad. Math. Bull. 9, 581 - 591, 1966.

Alle genannten Funktoren besitzen rechtsadjungierte Funktoren. Also erhalten sie Kolimites und Epimorphismen. Dieses Ergebnis ist besonders im Hinblick auf die Tatsache von Interesse, daß Kolimites und Epimorphismen in algebraischen Kategorien schwer zu behan­ deln sind. Ein Beispiel für dieses Ergebnis erhalten wir für den Funk­ tor Kommutator-Faktorgruppe. Das Koprodukt zweier abelscher Gruppen Α und Β in der Kategorie der Gruppen ist sehr groß. ) Selbst wenn Α und Β endlich sind, ist ihr Koprodukt Α* Β unendlich.

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