Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Lück

By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Die Teilungspunkte in komplexen Koordinaten sind also exp(O), exp(7fi/n), exp(27fi/n), ... , exp((2n - l)7fi/n). Wir wollen paarweise die Bogen auf dem Rand durch Homoomorphismen identifizieren. Wir durchlaufen 51 entegen dem Uhrzeigersinn beginnend mit dem Bogen von exp(O) nach exp(7fi/n). Wir bezeichnen die Bogen mit Buchstaben a1,a2, ... ,an , solange der Bogen nicht mit einem bereits durchlaufenden Bogen identifiziert werden soll. Falls wir nun einen Bogen treffen, der mit ai verheftet werden soll, so bezeichnen wir diesen Bogen mit ail oder ai, je nachdem, ob bei der Identifizierung die Durchlaufrichtung geandert wird oder nicht.

A) Fur jeden relativen CW -Komplex (X, A) mit endlich vielen Zellen gibt es fur alle n E Z einen in (X, A) naturlichen Isomorphismus (b) Falls 1l* auch das Axiom uber disjunkte Vereinigungen erfullt, so gibt es fur jeden relativen CW -Komplex (X, A) und fur alle n E Z einen in (X, A) naturlichen Isomorphismus Beweis: (a) Sei n E Z. Wahle ein Pushout 46 3 CW-Komplexe . sn-l UtEln UiE1n ji 1 UiE1n wobei ji: sn-l --t Dn D n die Inklusion ist. 24) iEln bijektiv ist, wobei Ii: (Dn, sn-l) ist. sin(7T Ilxll11 xlll , ...

36. (Fundamentalgruppe und H l (X). x u( Ti,O(O)) Setze Vi := Vi,O * Vi,1 * Vi,2. Dann gilt Vi -::: U(Ti,O(O)) * Ti,O * Ti,1 * Ti,2 * U(Ti,O(O))- -::: u(x), wobei -::: homotop relativ zum Grundpunkt x bedeutet. Daraus folgt die Gleichung [Vi]Ti = 1 in 1fl (X, x). Falls pr: 1fl (X, x) -t 1fl (X, X)/[1fl (X, x), 1fl (X, x)] die Projektion ist, so gilt L:=1 ri . pr([vi]) = 0 in 1fl (X, X)/[1fl (x, x), 1fl (X, x)]. Aus der Gleichung 'iiJ = L:=1 ri . (Ti,O + Ti,1 + Ti,2) in c~ing(X) folgt in 1fl (X, X)/[1fl (X, x), 1fl (X, x)] rr:=1 s pr([w]) = L ri .

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